Gökkuşağından matruşkalar yapmak!?

Yaklaşın, yaklaşın…Biraz daha yaklaşın, iyice yaklaşın…Yok olmuyor, gene aynı yerdesiniz. Bu yazıdan sonra geri de dönseniz fark etmez, aynı yerde olacaksınız.

Meraklı çocukları doğada en çok kar taneleri büyülüyor. Kristal yapılarını gördükleri ilk andan itibaren ince ‘hii’ efektiyle kenarlarına dokunmak istiyor, dallanıp budaklanmasının kalıcı olmasını düşlüyorlar ya da eve götürüp orada besliyorlar(?). Doğanın oranlarına duydukları hayranlık meraklarını körüklüyor. Bir kar kristalinin neden böyle göründüğünü hemen öğrenemeyecek olsalar da, bir çoklarının üzerine bastıkları anda bu meraklarını tatmin ya da yok etmiş oluyorlar. Neyse ki ertesi yıllarda da kar kendini yağarak hatırlatıyor. Bizim meraklı canavarlar ise tekrardan düşünmeye başlıyorlar.

Düşündükleri kar tanesinin yapısını anlamaları ise biraz zaman alacağa benziyor. Bir kristali geniş açıda gördüğünüz şekli ile mikroskobun altında yaklaşabildiğiniz kadar yaklaştığınızda gördüğünüz şekil aynı. Bu da demek oluyor ki, bir kristali oluşturan tüm parçalar aynı forma sahipler. Karşınızda bir çocuk varsa eğer gelin de çıkın işin içinden. Bir de büyük çocuklar var ki merakları doğayı da aşıyor. Kendi kristallerini yaratmaya kadar vardırıyorlar işi. Bu işin sonu yok Tabi, boyut olarak birbirinden farklı ama şekil olarak aynı parçalardan nasıl bir form çıkarırsanız çıkarın, sonsuza giden bir iç yapı elde ediyorsunuz. Bunu evde yapabiliyor muyuz peki?

Fractus, düş önüme!

Bu tip bir yapılanmanın araştırılması matematik kökenli işlemlere oradan da bilgisayarlara dayanıyor. Gastone Maurice Julia’nın 1918 yılında tekrar eden fonksiyonlarla ilgili hazırladığı bir makaleyle ortaya çıkarttığı formülü, yıllar sonra 1975’de Benoit Mandelbrot IBM bünyesinde bir araştırmasında kullanıyor. Yaptığı araştırma; veri iletim hatları üzerindeki gürültülerin nasıl giderilebileceği üzerine. Çoğu bilim adamı frekansları yükselterek hat üzerindeki gürültüleri giderebileceklerini düşünüyorlar. Ancak hatlardaki gürültüler gelişi güzel olmasına rağmen kümeler haline geliyor. Mandelbrot bu konudaki araştırmalarını sürdürürken kümelerin sanıldığından daha kompleks yapılarda olduğunu fark ediyor. Bu kompleks yapıları geniş bir zaman diliminde incelemek yerine önce birer saatlik, sonrasında da yirmişer dakikalık parçalara ayırıyor, devamında ise daha da küçük parçalara. Zaman dilimi her ne kadar küçülürse küçülsün, eldeki dilimde hemen hemen aynı oranda hatalı ve hatasız kümelerle karşılaşıyor. Ailesinde de önemli matematikçiler olan Polonya doğumlu Mandelbrot, bu oranın 19. yüzyılda George Cantor’un Cantor dizisi fonksiyonuna bağlıyor. Bu fonksiyon; örneğin bir çıtanın ortadaki 1/3 oranındaki parçasının çıkartılıp bölünmesi ve geri kalan parçaların da aynı oranda sürekli bölünmesiyle örneklendirilebilir. Sonsuza kadar sürdüğünde elde edilen Cantor tozu sonsuz noktadan oluşan ve toplam uzunluğu sıfır olan bir matematik temeli. İş buradan felsefeye kaydırılabilir pek tabii.

Mandelbrot da öyle yapıyor ve diyor ki, “ Bir iplik yumağının boyutu nedir? Uzaktan baktığınızda bir nokta ama yaklaştıkça kendince boyutu olan bir obje, daha da yaklaştığınızda lifler, ve en sonunda mikroskopla son raddesine baktığınızda ise sonsuz noktalardan oluşan bir küme. O halde; bu iplik yumağının gerçek boyutu nedir?” Bu yaklaşımıyla herhangi bir birim cinsinden ölçülemeyen objelere bilimsel bir derecelendirme kazandırıyor ve kendi içinde döngülere sahip bu yapılara Latince fractus (parçalanmış/kırılmış) kelimesinden esinlenerek fraktal adını veriyor.

Yapay zekadan yatay zekaya…

Mandelbrot frakteline önce geniş açıdan bir göz atalım. Koca göbekli bir kardan adama benziyor kendisi. Her hangi bir noktasından yaklaşmaya başlayalım. Bir açıdan sonra gene karşımıza bu göbekli kardan adam çıkıyor. Julia’nın formülü ve Cantor’un tozlarıyla matematiksel anlatacak olursak, geniş açıdan gördüğümüz kardan adamımız bir bakteri gibi 1/3 oranında bölünmeye devam edip kendine bir çok eş daha yaratıyor. Fraktalleri hiç ayrılmayan bakteri bölünmelerine benzetebiliriz. Bu işlem sonsuza kadar sürüyor en nihayetinde. Siyah alanlar aslında sonsuz noktalardan oluşan, sıfır değerleri. Renkli alanlara biraz daha yakından baktığımızda da gene bir göbekle karşılaşıyoruz. İlginç, aynı şeklin bir kenarında bir tane daha göbekli kardan adam var. Gördüğünüz gibi bu fraktal kendi içinde tekrarlanan değerlerin sonucu olarak aynısını kendi içinde yaratarak sonsuza dek ilerliyor.

Mandelbrot’un tekrardan su yüzüne çıkardığı Julia formülü ve kullandığı alanlar doğanın matematiğinin de önemli bir kısmını öğrenmemize yarıyor. Bu araştırmaları yaparken IBM’de bulunan matematikçi, ilk yapay zeka örneklerinden biri olan bilgisayarından bu fonksiyonu hesaplamasını istiyor. Bu işlem sonucunda karşısına çıkan görsel ise şu an küçük büyük gören herkesi büyüleyen ve son 15-20 yıl içinde sanatsal değer de kazanan fraktallerin ilkini ortaya çıkarıyor. Yapay zeka tarafından üretilen ilk görsel diyebileceğimiz bu çalışma, yıllar içinde formüldeki değerleri değiştirerek ve farklı tekniklerle renklendirilerek 3D ( 3 boyutlu ) çalışmalara kadar uzanıyor.

Renk pattern’leri, matematiksel haritalandırma ( program dahilinde ) ve en önemlisi formülü düzenlemek tam anlamıyla kafa patlatma işi. Etkileyici bir fraktal yaratmak tamamen bilgisayarda hazırlanan basit bir işlem gibi gözüküyor olsa da, her fotoğraf sanatsal değer taşımadığı gibi her fraktal de sanatsal değer taşımıyor. Öte yandan bir çalışma var ki sanatsal boyutunu da aşmış, simgesel bir boyut da kazanmıştır. Bu çalışma fonksiyondaki değerlerin Melinda Green tarafından farklılaştırılmasıyla ortaya çıkan Buddhabrot tekniğidir. Geleneksel Mandelbrot tekniği üzerine kurulan sistemle elde edilen fraktal, adından da anlaşılacağı üzere, Buddha’ya benziyor. O kadar benziyor ki, üçüncü göz diye isimlendirdikleri bir nokta bile mevcut yapısında.

Burada matematiksel değerleri verip kafanızı yormak istemedik ancak ararsanız basit Mandelbrot formülünü ve neyi nasıl yapacağınızı çok kolay bulabilirsiniz. Matematiğin doğanın değerleri olduğunu göz önünde bulunduracak olursanız, sayılarla oynamaya başladığınızda içinden çıkamayacaksınızdır. Şu an piyasada bulunan en popüler programları; http://www.ultrafractal.com/ , http://www.chaospro.de/ adreslerinden temin edebilirsiniz. Eğer Buddhabrot fraktalini nasıl yaparım, fraktel jeneratörünü nerden temin edebilirim diyorsanız, bunun için de; http://www.superliminal.com/fractals/bbrot/bbrot.htm adresine bakmanızı öneririz.. Programları çalıştırdıktan sonra basit formülünü, desenlere hakim olmayı ve yeteri kadar tatmin edici bir çalışma çıkartmayı kısa zamanda, tabi sabırla, öğrenecek; boyutlar arası geçiş kapılarını da aralamış olacaksınız. O halde şimdi başlayalım artık kar tanelerimizi boyamaya. İyi çalışmalar…

—

Fi tarihinde Burger King Whop için kaleme alınmıştır.